Jak rozpoznać, czy w zadaniu liczyć NWD, czy NWW?

Liczysz NWD, gdy coś dzielisz na jak największe równe części albo grupy, na przykład bukiety, płytki czy kawałki wstążki. Liczysz NWW, gdy szukasz najmniejszej ilości lub najbliższego momentu, w którym dwa powtarzające się zdarzenia się spotkają, na przykład odjazdy tramwajów. Pomaga też kontrola wyniku: NWD nie może być większy od mniejszej liczby, a NWW nie może być mniejsza od większej.

Jak rozwiązać zadanie tekstowe z NWD?

Wypisz liczby z treści, oblicz ich NWD i zastanów się, o co dokładnie pyta zadanie. NWD to zwykle liczba grup albo długość jednego kawałka, a zadanie często pyta o coś innego, na przykład o liczbę róż w jednym bukiecie. Przy 84 różach i 60 tulipanach NWD wynosi 12, więc powstaje 12 bukietów, każdy z 7 różami i 5 tulipanami.

Jak rozwiązać zadanie tekstowe z NWW?

Oblicz NWW liczb opisujących cykle lub opakowania i dopasuj wynik do pytania. Tramwaje co 8 i 14 minut, które odjechały razem o 7:00, spotkają się znów po NWW(8, 14) = 56 minutach, czyli o 7:56. Przy parówkach po 10 i bułkach po 8 w paczce NWW to 40 sztuk, czyli 4 paczki parówek i 5 paczek bułek.

Czy NWW × NWD = a × b działa dla trzech liczb?

Nie, ta zależność działa tylko dla dwóch liczb. Dla 12 i 18 sprawdza się: NWD 6 razy NWW 36 daje 216, czyli tyle, ile 12 razy 18. Dla trzech liczb 6, 8 i 9 iloczyn wynosi 432, a NWD równy 1 razy NWW równa 72 daje tylko 72. Przy trzech liczbach licz NWW parami: najpierw dla dwóch, potem wynik z trzecią.

Jak znaleźć liczbę, która daje tę samą resztę przy dzieleniu przez kilka liczb?

Oblicz NWW tych dzielników i dodaj resztę. Najmniejsza liczba większa od 1, która przy dzieleniu przez 2, 3, 4, 5 i 6 daje resztę 1, to NWW(2, 3, 4, 5, 6) + 1 = 60 + 1 = 61. Kolejne takie liczby to 121, 181 i dalej co 60, bo każda wielokrotność 60 dzieli się bez reszty przez wszystkie te dzielniki.

NWW i NWD: zadania tekstowe z rozwiązaniami krok po kroku

Zadanie z NWD rozpoznasz po tym, że coś dzielisz na jak największe równe części, a zadanie z NWW po tym, że szukasz najmniejszej wspólnej ilości albo najbliższego momentu, w którym dwa cykle się spotkają. Poniżej znajdziesz 10 zadań tekstowych z rozwiązaniami krok po kroku, od bukietów i płytek po tramwaje i reszty z dzielenia. Wyniki możesz sprawdzić w kalkulatorze NWW i NWD.

NWD czy NWW: jak rozpoznać po treści zadania

O wyborze między NWD a NWW decyduje pytanie zadania, a nie liczby w treści. Te same liczby 24 i 36 dają NWD równy 12 i NWW równą 72, więc pomyłka w wyborze daje wynik sześć razy za duży albo za mały. Zanim cokolwiek policzysz, przeczytaj ostatnie zdanie zadania i znajdź w nim słowa sygnałowe.

Treść zadania mówi o…	Liczysz	Typowe pytanie
dzieleniu na jak największe równe części	NWD	ile najwięcej bukietów, paczek, grup?
największym kawałku, płytce, odcinku bez resztek	NWD	jaka jest największa długość?
zdarzeniach powtarzających się co pewien czas	NWW	kiedy znów razem?
kupowaniu w paczkach, żeby nic nie zostało	NWW	ile najmniej paczek?
ustawianiu w rzędach po kilka, zawsze bez reszty	NWW	ile najmniej osób?
reszcie z dzielenia przez kilka liczb	NWW + reszta	jaka to najmniejsza liczba?

Druga pomoc to kontrola zdrowego rozsądku. NWD nigdy nie przekracza mniejszej z liczb, bo nie da się podzielić 24 róż na więcej niż 24 bukiety. NWW nigdy nie jest mniejsza od większej z liczb, bo dwa tramwaje nie spotkają się wcześniej, niż przyjedzie ten rzadszy.

Zadania na NWD z rozwiązaniami

Zadanie 1. Bukiety. Kwiaciarka ma 84 róże i 60 tulipanów. Chce zrobić jak najwięcej jednakowych bukietów, wykorzystując wszystkie kwiaty. Ile bukietów zrobi i co będzie w każdym?

Rozwiązanie: NWD(84, 60) = 12, więc powstanie 12 bukietów. W każdym będzie 84 ÷ 12 = 7 róż i 60 ÷ 12 = 5 tulipanów.

Zadanie 2. Płytki. Podłogę o wymiarach 360 cm na 270 cm trzeba wyłożyć jednakowymi kwadratowymi płytkami bez docinania. Jaki największy bok może mieć płytka i ile płytek potrzeba?

Rozwiązanie: NWD(360, 270) = 90, więc płytka ma bok 90 cm. Na długość zmieszczą się 360 ÷ 90 = 4 płytki, na szerokość 270 ÷ 90 = 3, razem 4 × 3 = 12 płytek.

Zadanie 3. Wstążki. Dwie wstążki mają 150 cm i 225 cm. Obie trzeba pociąć na jak najdłuższe kawałki równej długości, bez resztek. Jak długi będzie kawałek i ile ich będzie?

Rozwiązanie: NWD(150, 225) = 75, więc kawałek ma 75 cm. Z krótszej wstążki powstaną 2 kawałki, z dłuższej 3, razem 5 kawałków.

Zadanie 4. Grupy. W klasach piątych są 24 dziewczynki i 30 chłopców. Wychowawca chce podzielić ich na jak najwięcej grup o identycznym składzie. Ile będzie grup i kto w nich będzie?

Rozwiązanie: NWD(24, 30) = 6, więc powstanie 6 grup. W każdej będą 4 dziewczynki i 5 chłopców.

Zadania na NWW z rozwiązaniami

Zadanie 5. Tramwaje. Tramwaj linii 3 odjeżdża z pętli co 8 minut, a linii 7 co 14 minut. O 7:00 oba odjechały razem. O której znów odjadą jednocześnie?

Rozwiązanie: NWW(8, 14) = 56, więc następny wspólny odjazd będzie po 56 minutach, czyli o 7:56.

Zadanie 6. Koła zębate. Zazębione koła mają 24 i 36 zębów. Po ilu obrotach każdego koła oba wrócą jednocześnie do pozycji startowej?

Rozwiązanie: NWW(24, 36) = 72, więc muszą przejść 72 zęby. Małe koło wykona 72 ÷ 24 = 3 obroty, a duże 72 ÷ 36 = 2 obroty.

Zadanie 7. Grill. Parówki są pakowane po 10 sztuk, a bułki po 8. Ile najmniej paczek każdego rodzaju trzeba kupić, żeby parówek i bułek było tyle samo?

Rozwiązanie: NWW(10, 8) = 40, więc potrzeba 40 sztuk każdego produktu. To 40 ÷ 10 = 4 paczki parówek i 40 ÷ 8 = 5 paczek bułek. Iloczyn 10 × 8 = 80 też by zadziałał, ale nie jest najmniejszy.

Zadanie 8. Lampki. Jedna lampka mruga co 6 sekund, druga co 15 sekund. Mrugnęły razem w chwili włączenia. Co ile sekund mrugają jednocześnie i ile razy zrobią to w ciągu godziny po włączeniu?

Rozwiązanie: NWW(6, 15) = 30, więc mrugają razem co 30 sekund. Godzina ma 3600 sekund, a 3600 ÷ 30 = 120, więc w ciągu godziny mrugną razem 120 razy.

Zadania z trzema liczbami

Przy trzech i więcej liczbach liczysz NWW parami: najpierw dla dwóch pierwszych liczb, potem wynik z kolejną. Same zadania wyglądają podobnie jak dla dwóch liczb, ale częściej dochodzi warunek, który wybiera jedną z wielu wielokrotności.

Zadanie 9. Apel. Uczniów da się ustawić w rzędach po 6, po 8 albo po 9 i za każdym razem nikt nie zostaje. Wiadomo, że uczniów jest od 100 do 200. Ilu ich jest?

Rozwiązanie: NWW(6, 8, 9) = 72, więc liczba uczniów jest wielokrotnością 72. Wielokrotności to 72, 144 i 216, a w przedziale od 100 do 200 mieści się tylko 144. Uczniów jest 144.

Zadanie 10. Reszta. Znajdź najmniejszą liczbę większą od 1, która przy dzieleniu przez 2, 3, 4, 5 i 6 daje za każdym razem resztę 1.

Rozwiązanie: liczba pomniejszona o 1 musi dzielić się bez reszty przez wszystkie dzielniki, więc jest wielokrotnością NWW(2, 3, 4, 5, 6) = 60. Szukana liczba to 60 + 1 = 61. Sprawdzenie: 61 = 2 × 30 + 1 = 3 × 20 + 1 = 4 × 15 + 1 = 5 × 12 + 1 = 6 × 10 + 1.

Błędy, które kosztują punkty

Większość błędów w tych zadaniach nie wynika z rachunków, tylko z odpowiedzi na inne pytanie niż zadane. Oto cztery najczęstsze pułapki, każda pokazana na zadaniu z tego artykułu.

Podanie NWD zamiast odpowiedzi na pytanie. W zadaniu 1 NWD wynosi 12, ale jeśli zadanie pyta o liczbę róż w bukiecie, odpowiedź to 7.
Zamiana NWW na iloczyn. W zadaniu 7 iloczyn 80 daje poprawny, ale nie najmniejszy zakup. NWW równa się iloczynowi tylko wtedy, gdy liczby nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.
Zależność NWW × NWD = a × b dla trzech liczb. Dla dwóch liczb działa: 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Dla 6, 8 i 9 już nie, bo NWD 1 razy NWW 72 daje 72, a iloczyn liczb to 432.
Pominięcie warunku z treści. W zadaniu 9 samo NWW równe 72 jest za małe, bo uczniów jest od 100 do 200. Dopiero kolejna wielokrotność spełnia warunek.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Spróbuj rozwiązać trzy zadania samodzielnie. Najpierw zdecyduj, czy to NWD, czy NWW, dopiero potem licz. Odpowiedzi są pod zadaniami.

A. Na stole leżą 42 cukierki i 56 lizaków. Ile najwięcej jednakowych paczek da się zrobić ze wszystkich słodyczy?
B. Ania biega co 9 dni, a Bartek co 12 dni. Dziś biegali razem. Za ile dni znów pobiegną tego samego dnia?
C. Deski o długości 45 cm i 75 cm trzeba pociąć na najdłuższe równe kawałki bez odpadów. Ile centymetrów ma kawałek?

Odpowiedzi: A to NWD(42, 56) = 14 paczek. B to NWW(9, 12) = 36 dni. C to NWD(45, 75) = 15 cm.

Jeśli Twoja odpowiedź się nie zgadza, to najpierw sprawdź wybór między NWD a NWW, a dopiero potem rachunki. Jeśli wynik NWD wyszedł większy od mniejszej liczby albo NWW mniejsza od większej, to błąd jest w obliczeniach. Jeśli chcesz sprawdzić własne liczby, to wpisz je do kalkulatora NWW i NWD, który poda oba wyniki naraz.