Kalkulator NWW i NWD
NWD to największa liczba dzieląca bez reszty wszystkie podane liczby, a NWW to najmniejsza liczba, którą każda z nich dzieli bez reszty.
Czytaj więcej…Czytaj mniej
Wpisz dwie lub więcej liczb naturalnych, a kalkulator poda oba wyniki od razu, licząc algorytmem Euklidesa.Wprowadź swoje dane
Zobaczysz największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność podanych liczb.
Jak obliczyć NWW i NWD?
NWD najszybciej obliczysz algorytmem Euklidesa, a NWW z zależności NWW(a, b) = (a × b) ÷ NWD(a, b). Krok po kroku dla liczb 12 i 18:
- Algorytm Euklidesa: 18 mod 12 = 6, następnie 12 mod 6 = 0 → NWD = 6.
- NWW z zależności: (12 × 18) ÷ 6 = 36.
- Dla większej liczby argumentów kalkulator liczy wynik krokowo: najpierw dla pary, potem wynik z kolejną liczbą.
Alternatywna metoda szkolna to rozkład na czynniki pierwsze: 12 = 2² · 3 i 18 = 2 · 3². NWD bierze czynniki wspólne w najniższych potęgach (2 · 3 = 6), a NWW wszystkie czynniki w najwyższych potęgach (2² · 3² = 36).
Algorytm Euklidesa krok po kroku
Pełny zapis dzieleń dla liczb 48 i 18 pokazuje, jak reszta z dzielenia przejmuje rolę dzielnika:
- 48 ÷ 18 = 2, reszta 12
- 18 ÷ 12 = 1, reszta 6
- 12 ÷ 6 = 2, reszta 0
Ostatni niezerowy dzielnik to NWD(48, 18) = 6, a NWW z zależności: (48 × 18) ÷ 6 = 144. Dla trzech i więcej liczb wynik składa się parami: NWD(4, 6, 10) = NWD(NWD(4, 6), 10) = NWD(2, 10) = 2.
Przykładowe wyniki obliczeń
| Liczby | NWD | NWW |
|---|---|---|
| 12, 18 | 6 | 36 |
| 48, 18 | 6 | 144 |
| 48, 36 | 12 | 144 |
| 8, 24 | 8 | 24 |
| 13, 17 | 1 | 221 |
| 4, 6, 10 | 2 | 60 |
Wiersz z liczbami 13 i 17 pokazuje przypadek liczb względnie pierwszych: ich NWD to 1, a NWW równa się iloczynowi.
Do czego używa się NWD i NWW?
- Skracanie ułamków: ułamek 36/48 skrócisz, dzieląc licznik i mianownik przez NWD(36, 48) = 12, a wynik to 3/4.
- Wspólny mianownik: żeby dodać 1/12 i 1/18, sprowadzasz je do mianownika NWW(12, 18) = 36.
- Zadania o cyklach: dwa autobusy odjeżdżające co 12 i co 18 minut spotkają się na przystanku co NWW(12, 18) = 36 minut.
- Podział na równe grupy: z 48 jabłek i 36 gruszek złożysz najwyżej NWD(48, 36) = 12 identycznych koszy (po 4 jabłka i 3 gruszki).
Najczęstsze pytania
- Jak obliczyć NWD?
- Najszybciej algorytmem Euklidesa: dziel większą liczbę przez mniejszą i zastępuj większą resztą z dzielenia, aż reszta wyniesie zero. Ostatni niezerowy dzielnik to NWD. Przykład: NWD(48, 36) → 48 mod 36 = 12, 36 mod 12 = 0, więc NWD = 12.
- Jak obliczyć NWW?
- Skorzystaj z zależności NWW(a, b) = (a × b) ÷ NWD(a, b). Przykład: NWW(12, 18) = (12 × 18) ÷ 6 = 36. Można też rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i pomnożyć każdy czynnik w najwyższej występującej potędze, a wynik będzie ten sam.
- Czym różni się NWW od NWD?
- NWD to największa liczba, przez którą wszystkie podane liczby dzielą się bez reszty, zawsze niewiększa od najmniejszej z nich. NWW to najmniejsza liczba, która dzieli się przez każdą z podanych, zawsze niemniejsza od największej. Dla 12 i 18: NWD = 6, NWW = 36.
- Ile wynosi NWD liczb względnie pierwszych?
- Dokładnie 1, bo liczby względnie pierwsze (np. 13 i 17) nie mają żadnego wspólnego dzielnika poza jedynką. Ich NWW jest wtedy po prostu iloczynem, np. NWW(13, 17) = 221. To skrajny przypadek, który dobrze pokazuje zależność NWW × NWD = a × b.
- Do czego przydaje się NWW i NWD?
- NWD służy do skracania ułamków do postaci nieskracalnej (dzielisz licznik i mianownik przez ich NWD). NWW to wspólny mianownik przy dodawaniu ułamków oraz narzędzie do zadań o cyklach, np. kiedy dwa autobusy jeżdżące co 12 i co 18 minut znów odjadą razem (co 36 minut).
Źródła
- Wolfram MathWorld: Greatest Common Divisor · definicje NWD/NWW i algorytm Euklidesa