Kalkulator funkcji kwadratowej
Kalkulator funkcji kwadratowej oblicza deltę, miejsca zerowe i wierzchołek paraboli ze współczynników a, b i c.
Czytaj więcej…Czytaj mniej
Wzór na deltę to Δ = b² − 4ac: gdy Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe, gdy Δ = 0 ma jedno, a gdy Δ < 0 nie ma żadnego.Wprowadź swoje dane
Zobaczysz deltę, miejsca zerowe x₁ i x₂ oraz współrzędne wierzchołka paraboli.
Jak obliczyć deltę i miejsca zerowe?
Deltę obliczysz ze wzoru Δ = b² − 4ac, a jej znak od razu wskazuje liczbę miejsc zerowych. Pełny tok obliczeń dla funkcji f(x) = x² − 5x + 6 (a = 1, b = −5, c = 6):
- Policz deltę: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Δ > 0, więc są dwa miejsca zerowe: x₁ = (−b − √Δ) / 2a = (5 − 1) / 2 = 2 oraz x₂ = (5 + 1) / 2 = 3.
- Wierzchołek paraboli: p = −b / 2a = 2,5, q = −Δ / 4a = −0,25.
Interpretacja znaku delty:
- Δ > 0: dwa miejsca zerowe (parabola przecina oś OX w dwóch punktach),
- Δ = 0: jedno miejsce zerowe (wierzchołek leży na osi OX),
- Δ < 0: brak miejsc zerowych (parabola nie dotyka osi OX).
Przykładowe wyniki obliczeń
| Funkcja | Δ | Miejsca zerowe | Wierzchołek |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | 1 | x₁ = 2, x₂ = 3 | (2,5; −0,25) |
| x² + 2x + 1 | 0 | x₀ = −1 | (−1; 0) |
| x² + 1 | −4 | brak | (0; 1) |
| −2x² + 4x + 6 | 64 | x₁ = −1, x₂ = 3 | (1; 8) |
Wzory funkcji kwadratowej w jednym miejscu
Dla funkcji f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0):
- delta: Δ = b² − 4ac,
- miejsca zerowe (Δ ≥ 0): x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a,
- wierzchołek: p = −b / 2a, q = −Δ / 4a,
- postać kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q,
- postać iloczynowa (Δ ≥ 0): f(x) = a(x − x₁)(x − x₂).
Ramiona paraboli skierowane są w górę przy a > 0 i w dół przy a < 0. Od tego zależy, czy wierzchołek jest minimum, czy maksimum funkcji.
Każda postać ma swoje zastosowanie: ogólna najlepiej nadaje się do liczenia delty, kanoniczna od razu pokazuje wierzchołek (przydatna przy przesunięciach wykresu), a iloczynowa odsłania miejsca zerowe bez żadnych obliczeń. Szczegółowe przykłady liczenia delty krok po kroku, wraz z najczęstszymi błędami przy znakach, znajdziesz w artykule jak obliczyć deltę.
Najczęstsze pytania
- Jak obliczyć deltę?
- Deltę liczysz ze wzoru Δ = b² − 4ac, podstawiając współczynniki funkcji kwadratowej ax² + bx + c. Przykład dla x² − 5x + 6: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Znak delty od razu mówi, ile jest miejsc zerowych: dwa (Δ > 0), jedno (Δ = 0) albo żadne (Δ < 0).
- Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
- Przy Δ > 0 stosujesz wzory x₁ = (−b − √Δ) / 2a i x₂ = (−b + √Δ) / 2a; przy Δ = 0 jest jedno miejsce zerowe x₀ = −b / 2a; przy Δ < 0 miejsc zerowych nie ma. Dla x² − 5x + 6 (Δ = 1): x₁ = (5 − 1)/2 = 2 oraz x₂ = (5 + 1)/2 = 3.
- Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
- Współrzędne wierzchołka to p = −b / 2a oraz q = −Δ / 4a. Dla funkcji x² − 5x + 6: p = 5/2 = 2,5 i q = −1/4 = −0,25, czyli W = (2,5; −0,25). Gdy a > 0, wierzchołek jest najniższym punktem paraboli (minimum), a gdy a < 0 jest najwyższym (maksimum).
- Co oznacza ujemna delta?
- Ujemna delta oznacza, że równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych, czyli parabola nie przecina osi OX. Wykres leży wtedy w całości nad osią (gdy a > 0) albo pod nią (gdy a < 0). Funkcja wciąż ma wierzchołek i oś symetrii, które kalkulator podaje niezależnie od znaku delty.
- Co jeśli współczynnik a jest równy zero?
- Przy a = 0 wyrażenie przestaje być funkcją kwadratową; zostaje funkcja liniowa bx + c, dla której delta nie ma zastosowania. Dlatego kalkulator wymaga a ≠ 0. Miejsce zerowe funkcji liniowej policzysz bez wzorów skróconych, przekształcając bx + c = 0 do x = −c / b.
Źródła
- Wolfram MathWorld: Quadratic Equation · wzory na wyróżnik i pierwiastki równania kwadratowego